serian parametricas


Ale Levi <alelevi@...> escribió:
Se me ocurre ahora tambien que las ecuaciones pordian simplificarse un
poco haciendo que el centro de una de las dos circunferencias coincida
con el origen de coordenadas y la otra circunferencia este corrida r
hacia arriba o abajo en "y", o hacia la derecha o izquierda en "x", a
gusto y piaccere . Pero de todas maneras los resultados seran iguales.

Saludos,

Ale

On 9/29/05, Ale Levi <alelevi@...> wrote:
> Hola Sebastian!
>
> Creo que Ale interpreto mal tu problema. Si yo no entiendo mal la cosa es
asi...
>
> Bueno, necesito un grafico para mostrarles mi interpretacion. Lo cuelgo en
>
> http://www.fi.uba.ar/~alevi/mate/vaca.jpg
>
> El problema se reduce a calcular la integral de f1 entre x1 y x2,
> menos la integral de f2 entre los mismos limites.
> El problema principal aqui es encontrar x1 y x2.
>
> Sabiendo que la ecuacion de una circunferencia esta dada por:
>
> x^2 + y^2 = r^2
>
> La mitad superior de la circunferencia esta dada por:
>
> y = sqrt(r^2 - x^2)
>
> Y la mitad inferior de la circunferencia esta dada por:
>
> y = - sqrt(r^2 - x^2)
>
> Ahora bien, f2 es una mitad inferior de circunferencia corrida r hacia
> la derecha en "x" y r hacia arriba en "y". Es decir que su ecuacion
> resulta:
>
> f2(x) = y = - sqrt(r^2 - (x-r)^2) + r
>
> f1 es una mitad superior de circunferencia corrida r hacia la derecha
> en "x". Es decir:
>
> f1(x) = y = sqrt(r^2 - (x-r)^2)
>
> Los puntos x1 y x2 representan los puntos de encuentro. Es decir, son
> puntos para los que dado "x" en las dos funciones, los valores de "y"
> coinciden.
>
> f1 (x1) = f2 (x1)
> f1 (x2) = f2 (x2)
>
> Asi pues:
>
> sqrt(r^2 - (x-r)^2) = - sqrt(r^2 - (x-r)^2) + r
> sqrt(r^2 - (x-r)^2) + sqrt(r^2 - (x-r)^2) = r
> 2 * sqrt(r^2 - (x-r)^2) = r
> sqrt(r^2 - (x-r)^2) = r/2
> r^2 - (x-r)^2 = (r^2)/4
> r^2 - (r^2)/4 = (x-r)^2
> 3/4 * r^2 = (x-r)^2
> +/- sqrt(3)/2 * r = x - r
> r +/- sqrt(3)/2 * r = x
>
> ==>
>
> x1 = r * (1 - sqrt(3)/2)
> x2 = r * (1 + sqrt(3)/2)
>
> Ahora, ya tenemos todos los datos necesarios para calcular el area de
> pasto que come la vaca.
>
> Area = Integ[f1, x1, x2] - Int[f2, x1, x2] = Integ[f1-f2, x1, x2]
>
> f1-f2 = sqrt(r^2 - (x-r)^2) - [ sqrt(r^2 - (x-r)^2) + r ]
> = sqrt(r^2 - (x-r)^2) + sqrt(r^2 - (x-r)^2) - r
> = 2 * sqrt(r^2 - (x-r)^2) - r
>
>
> Entonces:
>
> Area = Integ[(2 * sqrt(r^2 - (x-r)^2) - r), x1, x2]
> = Integ[2 * sqrt(r^2 - (x-r)^2) , x1, x2] - Integ[r , x1, x2]
> = Integ[2 * sqrt(r^2 - (x-r)^2) , x1, x2] - r * (x2-x1)
>
> Esta integral quizas no aparezca en una tabla de integrales, pero se
> puede hacer un cambio de variables bastante simple:
>
> x-r = u
> dx = du
>
> Limites:
> x1 -----> u1 = x1 - r
> x2 -----> u2 = x2 - r
>
> Y resulta:
>
> Area = Integ[2 * sqrt(r^2 - u^2), u1, u2] - r * (x2-x1)
>
> Esta integral sí aparece en tabla y es de fácil resolución.
>
> Notacion:
>
> sqrt(z) = Square Root(z) = "Raiz cuadrada de z"
> Integ[ f(x), x1, x2 ] = "Integral de f(x) entre x1 y x2"
>
> Espero no haberme equivocado y que las cosas esten claras.
> Saludos,
>
> Alejandro.
>
> > Mensaje: 2
> > Fecha: Thu, 29 Sep 2005 06:47:34 -0000
> > De: "sebastlop00" <sebastlop00@...>
> > Asunto: resulta que un amigo....
> >
> > Resulta que un amigo me desafía diciendo "vos que sabes matemáticas:
> > calculame el área de pasto que puede comer una vaca que está atada al
> > borde de un corral circular, y el cordel del cual está sujeta tiene una
> > longitud igual al radio del corral"
> >
> > Debo decir que no pude encontrar la respuesta. Intenté hasta con
> > calculo en dos variables, pero para estos problemas aparentemente
> > simples soy un burro.
> >
> > Alguien sabe como se hace?
> >
> > Gracias.Soy Sebastián de Salta.
>


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