Ha de haber una manera más sencilla de resolverla pero por el momento
se me ocurre esta que no es complicada pero si amplia.

El gráfico de la situación está en el link siguiente:

http://img116.imageshack.us/my.php?image=trigo3lg.png

como el ángulo mayor es 2B

Se tiene que 180-3B<2B
por ende B>36 grados y también se sabe que 3B<180 ya que sumado al
ángulo 180-B han de dar 180.


de lo que se deduce B<60 grados

por ende 36<B<60 es decir B pertenece al primer cuadrante .

Sabemos también por los datos que B<180-3B<2B

OJO:los valores de m, m +1, m+2 han sido repartidos opuestos a B,180-
3B, 2B por que a ángulos menores se oponen lados menores y viceversa.

Por la ley de senos se tiene:

senB/m=sen 2B/m+2=sen 180-3B/m+1

de la primera igualdad: senB/m=sen 2B/m+2

se deduce que (m+2)/2m=cos B.......(I)
; ya que: sen 2B=2 senB.cosB

igualando el primer término y el último de las igualdades del t seno
general

senB/m=sen 180-3B/m+1(II)


desarrollando sen 180-3B por la propiedad de seno de suma de ángulos

sen (x+y)=senx.cosy+cosx.seny

se obtiene que sen (180-3B)=sen180.cos-3B +cos180.sen -3B

y sen180=0 por ende sen 180-3B=cos180.sen -3B

de II y el valor obtenido se tiene:
senB/m=(cos180.sen -3B)/m+1

como cos 180=-1 y sen -x =-sen x (en general)

senB/m=sen 3B/m+1

de lo que:
msen B+sen B=msen 3B(III)
ahora bien por propiedad que no detallaré ya que implica mas
procedimiento,
sen3B=3cos^2 B. sen B-sen^3 B

donde cos^2 B =(cosB)^2
^ significa elevado a la potencia "z"
es decir es la notación de el cuadrado del coseno de B

lo mismo sen^3 B= (sen B)^3 o es la notación del cubo del seno del
ángulo B .


reemplazando el valor obtenido en III) se tiene:

msen B+sen B=m.(3cos^2 B. sen B-sen^3 B)=3m.cos^2 B. sen B-m. sen^3 B

como sen B está en todos los componentes de la ecuación lo
simplificamos y nos queda:

m+1= 3m.cos^2 B-m. sen^2 B=m( 3.cos^2 B- sen^2 B)

entonces (m+1)/m=( 3.cos^2 B-sen^2 B)(IV)

como sen^2 B + cos^2 B=1 (IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA)

sen^2 B=1- cos^2 B

reemplazando este valor en IV se obtiene:

(m+1)/m=( 3.cos^2 B-(1- cos^2 B))= 3.cos^2 B-1+ cos^2 B=4 cos^2 B-1

entonces:

(m+1)/m + 1=4 cos^2 B

sacando m.c.m :

(2m+1)/m=4 cos^2 B= 2m/m+ 1/m=2+1/m

entonces:2+1/m=4 cos^2 B

de lo que 1/m=4 cos^2 B-2 (V)

vovliendo a I) que era (m+2)/2m=cos B
se puede expresar de la siguiente manera:m/2m+2/2m=cosB=1/2+1/m=cos B

entonces:1/m=cos B-1/2 (VI)

igualando V y VI se tiene :

4 cos^2 B-2= cos B-1/2(VII)

que acomodándolo no es otra cosa que una ecuación cuadrática


4 cos^2 B- cos B+1/2-2=0

donde la variable o la que hace las veces de "x" es cos B

podríamos decir x =cos B

entonces 4 x^2-x+3/2=0 (VIII)

usando la fórmula para obtener la incógnita de una ecuación
cuadrática :

x=(-b+-(b^2-4ac)^1/2) /2a

donde el ^1/2 significa la raíz cuadrada de b^2-4ac


se obtienen 2 valores para x que son

x1=0.75

x2=-0.5


recordaando que x=cos B

y sabiendo que el coseno toma valores positivos en el primer y cuarto
cuadrante y negativos en el segundo y tercero .


Y como analizamos al principio B es del primer cuadrante entonces los
valores negativos y por ende x2 queda descartado.

Luego tenemos que cos B=0.75

que es lo mismo que B=arc coseno 0.75 =41.40962211 grados

y volviendo a 1)(m+2)/2m=cos B se tiene:

m+2=2m (0.75)=1.5 m

entonces 0.5 m=2
entonces m=4

por ende m+1=5 y m+2=6

que era lo que se pedía.