Hola: Veamos, la forma no es fácil de esplicar sin visualizarla.
¡¡Intentémoslo.!!

Primero, empezando por la derecha se forman grupos de 2 cifras ( si
el número es decimal, la coma ha de coincidir con la separación de
uno de esos grupos, por lo que si no lo hiciera se añadiría un cero a
la derecha del número para hacerlo posible.

32567894 -------> 32,56,78,94

32567894'426 ------> 32,56,78,94'42,60

Se toma el primer grupo de la izquierda y se busca un mayor número
que elevado al cuadrado sea menor o igual que dicho grupo de cifras.
(en nuestro ejemplo, el grupo es 32 y el número buscado el 5, ya que
5·5=25 < 32 y 6·6=36 > 32)

Ésta cifra es la primera cifra de la raíz cuadrada del número buscado

A la primera pareja de cifras (32) le restamos el cuadrado del número
encontrado (25) dándonos 7. A continuación tomamos la siguiente
pareja de cifras (56) y las colocamos a continuación del resultado
obtenido en la resta del último paso, obteniendo el número 756.
(LLamemos a este número primer resto parcial)

Atentos a esta parte: de éste número (756)separamos las unidades (6),
tomando el resto (75), que dividimos entre el doble del numero que
conocemos de la raíz (en nuestro caso el doble de 5, es decir 10)
75 :10 = 7 (división entera, sin decimales)
Juntamos el divisor (10) y el cociente (7) y el número obtenido (107)
lo multiplicamos por éste último (7)
107·7 = 749 que ha de ser menor que el resto parcial con que estemos
trabajando. (Advierte que si al dividir 75 entre 10 tomaramos el 8,
entonces 108·8 = 864 que sobrepasa al resto parcial con que
trabajamos)
Hemos obtenido así la segunda cifra de la raíz cuadrada, el cociente
de la división (7), y tenemos ya como cifras de la raíz, 57

A partir de aquí el proceso es repetitivo:

A 756 le restamos 749 dándonos 7. Le añadimos el siguiente grupo de 2
cifras (78) y obtenemos el segundo resto parcial (778)

De éste separamos la cifra de la derecha, (8) y el resto 77 lo
dividimos entre el doble de la raíz que conocemos (doble de 57 = 114)
El cociente en este caso es cero. Juntándolo al divisor obtenemos
1140 que al multiplicarlo por 0 da 0 y al restárselo al segundo resto
parcial (778 -0 ) nos da 778. Le añadimos la siguiente pareja de
cifras (94) y obtenemos 77894 que llamamos tercer resto parcial. El
cero es por tanto la tercera cifra de la raíz buscada, que hasat
ahora es 570. Y repetimos de nuevo

7789 : 1140 = 7 ; 11407 · 7 = 79849 > 77894, luego el 7 no nos vale.
Entonces repetimos este último paso:
7789 : 1140 = 6 ; 11406 · 6 = 68436 que si nos vale. Continuamos:
77894 - 68436 = 9458

A este número le añadimos la siguiente pareja de números (si es que
hay). En el caso de la raíz el numero 32567894, no sería posible, y
habríamos terminado, siendo la raíz cuadrada el número 5706 (Raíz
entera y no exacta, por lo que si quisiéramos decimales,
trabajaríamos con las cifras decimales del número, si las tiene, y si
no con parejas de ceros.

Espero haber sido lo suficientemente claro.

Un saludo