quisiera saber sobre anualidades variables vencidas anticipas y diferidas por
favor
  sallitas@...
  sally olvea

la razon de mi mensaje es principalmente con respecto a una actividad en
especial, es el factoreo, necesitaria saber teoria y algunos ejercicios de
ejemplo sobre los siete casos. Muchas Gracias.
val4val@...
valeria campos

: ¿que la pendiente de una funcion?
  adelaavi@...
  Adela Avram

RESUELVAME LAS PREGUNTAS DE LAS PRUEBAS DEL ESTADO ICFES EN COLOMBIA EN
MATEMATICAS, NUCLEO COMUN Y PROFUNDIZACION, PARA VER QUE TEMAS HAY QUE
REFORZARLE A LOS ESTUDIANTES COLOMBIANOS PARA PREPARARLO EN LAS PRUEBAS SABER Y
DEL ESTADO PARA EL 2005. ESPERO QUE NO LE SAQUEN EL CUERPO Y ME RESUELVA UNO A
UNO ESAS PREGUNTAS EN EL ULTIMO EXAMEN DE MATEMATICAS ICFES 2004,TANTO LA DE
MARZO Y LA DE SEPTIEMBRE.PARA PREPARARME MAS EN MIS CONOCIMIENTO Y ASI MEJORAR
LA CALIDAD DE EDUCACION EN MATEMATICAS, YA QUE ESTA RED. NO PRESENTAN
SITUACIONES PROBLEMAS, SINO PURO CONOCIMIENTOS MATEMATICOS, QUE EN NADA AYUDAN A
LOS PROFESORES Y LOS JOVENES, PARA PRESENTAR UNA BUENA PRUEBA, SABER-ICFES.  
WWW.JORGESIERRA89@...
  jorgesierra89@...

  JORGE SIERRA OROZCO

a) 27!
b) 2*15!*12!

Por ej en a) cuando hubicaste al 1er tipo/a te quedan 26 formas de meter al 2do,
y así sucesivamente.

imarcuzzo <maina_2@...> wrote:

Para un desfile hay 15 varones y 12 mujeres, ¿de cuantas maneras
distintas se pueden ordenar? si
a) No importa el sexo
b) se ordenan por sexo

Yo creo que es una Permutacion, pero me gustaria me ayuden con esto.
Muchas gracias





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Para un desfile hay 15 varones y 12 mujeres, ¿de cuantas maneras
distintas se pueden ordenar? si
a) No importa el sexo
b) se ordenan por sexo

Yo creo que es una Permutacion, pero me gustaria me ayuden con esto.
Muchas gracias

Un saludo:

Soy un estudiante de ingeniería electrónica y me gustaría que alguien me
resolviera el concepto de la transformada de Laplace, pues intuyo un cambio
del dominio del tiempo al complejo, pero tengo la impresión de que encierran
algo más, una idea mucho más intuitiva. Que me ayudaría mucho a entenderla.
Agradecería mucho que alguien me resolviera esta duda.

Mi e-mail noruel@.... Muchas gracias.

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Mi duda es sobre un elemento secundario del triangulo, que es la transversal de
gravedad, ya q definitivamente no encuentro alguna propiedad que me ayude a
resolver el siguiente ejercicio:

Dos transversales de gravedad "ta" y "tb" de un triangulo ABC rectangulo en C
miden 5cm la primera y raiz de 40 la segunda. La tercera transversal de gravedad
"tc" mide, en cm:
A) raiz de 13
B)raiz de 45
C)raiz de 65
D)3
E)4

Por favor pido su ayuda ya q no he podido resolver este ejercicio, y realmente
necesito saber como se resuelve, desde ya, muchas gracias. Adios.
  fgalvez_s@...
felipe galvez

tengo una duda de matematicas, vamos de un problema que nos pusieron
en la facultad.
el problema consiste en sacar los numero del cero al cien con la
utilizacion de cuatro cuatros tan solo. eso si puedes utilizar todas
las operaciones posibles, factorial, raiz cuadrada, potencia con
exponente 4 u otro exponente sacado de la ayuda de los cuatros.
entonces por ejempo el 0= 44-44
2= 4/4 + 4/4
entonces me faltan algunos numero que por muchas vueltas que le doy no
los consigo averiguar.
son los siguientes numeros.
33,37,39,41,51,53,55,57,59,61,67,69,71,73,75,77,79,83,85,87,89,91,93,99
si es capaz de hallar algun numero como si no contesteme al email
informandome de la duda por favor. muchas gracias.

[Las partes que no eran texto en este mensaje fueron eliminadas]

Hola. mi duda es sobre un ejercicio que nos mandaron en la facultad y por mas
vueltas que le doy no logro terminar. El ejercicio dice algo tal que así::
Obtener los numeros del 0 al 100 con la utilizacion de cuatro cuatros. por
ejemplo el 0 sería 44-44 o el dos seria 4/4 + 4/4. Pues hay algunos numeros que
no consigo descifrar. los numeros que no consigo son los siguientes. 33, 37, 39,
41, 51, 53, 55,57,59,61,67,69,71,73,75,77,79,83,85,87,89,91,93,99.
en principio se pueden utilizar todo tipo de operaciones. el factorial de 4, la
raiz cuadrada, la potencia de exponente 4, o de otro exponente si lo sacas con
cuatros.
esta es mi duda. si sois capaces de sacar algunos de estos numeros muchas
gracias. si no sois capaces, pues contestarme aunque sea al email diciendomelo.
muchas gracias
  shg1212@...
Sergio de Heras

Caso general:

Sean V, W dos espacios vectoriales (con cuerpo K) y T:V en W una T.L. Entonces,
si {vi} es un sistema de generadores de V, { f (vi) } es un sistema de
generadores de Im(T).

Dem:  Im(T) = { f(v) tq v pertenece a V }

Para cada v como vi era un sistema de generadores de V, existen v1,...,vn en
{vi) y a1,..., an en el cuerpo K tales que:

v = sum (i=1a n) [ ai.vi ], pero entonces: T(v) = sum [ ai.f(vi) ]  que
pertenece a gen { f(vi) }
Se demostro que Im(T) pertenece a gen { f(vi) }

Faltaría ver que gen { f(vi) } pertenece a Im (T), esto parece obvio, pues

f(vi) está en Im(T) para cada i.

Sin embargo, cabe aclarar que se cumple porque la Im (T) es un subespacio
vectorial de W y habría que probarlo para completar la demostracíon:

Si S es un subespacio de V, entonces T(S) es un subespacio de W.
Hay que probar 3 cosas, las caules haré a medias:

i) 0w pertenece a T(S), es cierto pues 0v está en S y  f(0v)=0w (demostralo,
sale facil)

ii) Si w1 y w2 pertenecen a T(S) entonces w1+w2 pertenece a T(S)

w1+w2 = T(s1) + T(s2) = T(s1+s2) que pertenece a T(S), porque s1+s2 está en S.
(S es subespacio)

iii) Si w1 pertenece a T(S) y a está en K, entonces a*w1 pertenece a
T(S)

a*w1 = a*T(w1) = T(a*w1) que también pertenece a T(S) porque a*w1 está en S.

Finalmente { f(vi) }  = Im (T) al probar ambas inclusiones.


Por lo tanto para hallar la imagen sólo tenés que encontrar el subespacio
generado por tus vectores imagen que son datos.



imarcuzzo <maina_2@...> wrote:

Necesito saber como se halla la IMAGEN de una Transformación lineal.
Teniendo como datos por ejemplo 3 vectores y los resultados de las
transformaciones.
Muchas gracias





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Estoy buscando algun material (lease libro, apunte, etc) para refrescar toda la
matematica del secuendario y luego repasar la de la facu. Solo por hobby. Me
prodrian recomendar donde o que buscar, Mil gracias
  andres-javier.rodriguez@...
Andres Rodriguez

hola!
No. La transformación no es necesariamente lineal, que esa condición es
necesaria pero no es suficiente. es necesario que ademas se cumpla que T(
ax) = a T(x)   ( con a perteneciente a un campo de escalares)
Es decir, que las transformaciones lineales preservan las dos operaciones
básicas de los espacios vectoriales que es la suma y la multiplicación de un
escalar por un vector.

>From: guerrero@...
>Reply-To: matematicas@...
>To: matematicas@...
>Subject: [mat] Si V,W son espacios vectoriales sobre un campo F
>Date: Fri, 12 Nov 2004 08:30:32 -0700
>
>
>
>  ¿Si V,W son espacios vectoriales sobre un campo F y tenemos T:V ---> W
>,(no necasariamente lineal) y se cumple que
>T(x+y)=T(x) + T(y) entonces T es lineal ??
>  guerrero@...
>  Silverio Guerrero
>
>
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¿Si V,W son espacios vectoriales sobre un campo F y tenemos T:V ---> W ,(no
necasariamente lineal) y se cumple que
T(x+y)=T(x) + T(y) entonces T es lineal ??
  guerrero@...
  Silverio Guerrero

Claudia:
                     la derivada primera te va a indicar màximos o mìnimos cuando
se anula. Viendo los valores de la funciòn en estos òptimos vas a ver si son
absolutos o relativos. Un absoluto es Max de los òptimos, si no es màximo es
relativo.
La derivada segunda es la derivada de la derivada, y esta te da si crece o
decrece o lo que es lo mismo, la concavidad de la curva. fijate los signos de la
f ``. Por ejemplo, una derivada segunda positiva indica que la derivada primera
es creciente y es como una U.


Saludos,

                                                        Dario Alberto Romero
                                                             Coordinador
                                                 Kumon Instituto de Educación
                                                       darioar@...
                                                    4781-7555/Fax:4781-0482
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Necesito saber como se halla la IMAGEN de una Transformación lineal.
Teniendo como datos por ejemplo 3 vectores y los resultados de las
transformaciones.
Muchas gracias

Mira, por medio de la definición que piden hago un cambio de variables y llego a
la otra y desde ahí demuestro. Si te dicen que está mal, no es cuestión de no
saber derivar, sino de no saber que es demostrar.

Igualmente usando la definición que piden sale casi mentalmente, usando 2 cosas:
1) sen x - sen y = 2 sen( (x - y)/2 ) cos( (x + y)/2 )
2) sen x / x -->1 (x-->0) este límite es muy conocido, y se puede demostrar
usando el teorema de intercalación:
Si l(x)<f(x)<u(x) y lim l(x) = lim u(x) = r (x-->xo), entonces lim f(x) = r.
En este caso cos(x)<senx/x<1/cosx en (-pi/2,pi/2), asì al acotar por arriba y
abajo con funciones que tienden a 1(en 0),  ya está.

g(x)=sen[(pi)*x]
Usando (1) y multiplicando y dividiendo por (1/2)*pi

g'(x)=lim [g(t)- g(x)]/(t-x) =

lim 2*(1/2)*pi*sen(pi(t-x)/2)*cos(pi(t+x)/2)/
[(1/2)*pi*(t-x)] (t-->x)

Usando (2)

g'(x) = pi*1*cos(pi*x)= pi*cos(pi*x)


Lo único que faltaría es demostrar el teorema de intercalación, que debe estar
en cualquier libro o curso de Analisis 0, pero si no lo conoces te tiro una idea
de la demostración.




Juan Manuel <juanmanuelchao@...> wrote:

Hola, Juan por la via que me propones y que ya Alejandra me habia
propuesto, yo ya lo habia resuelto, el problema en cuestion es que
en el ejercicio numero 1 dice
1-Utilice f'(x)=lim [f(x+h)-f(x)]/h para encontrar la derivada de
                 h->0
cada una de las funciones
Entonces plantean una serie de funciones con incisos desde la a)
hasta la h).
El ejercicio numero 2 dice
2-Utilice g'(x)=lim [g(t)- g(x)]/(t-x) para encontrar g'(x) en cada
caso            t->x
   a)g(x)=2x^2 que en este caso seria
     lim (2t^2-2x^2)/(t-x)=lim[2(t-x)(x+t)]/(t-x) =lim 2(x+t)=2(2x)=4x
      t->x                 t->x                    t->x
en el inciso se plantea
     f)g(x)=sen[(pi)*x]
este es en el que tengo duda, y como ven en el ejercicio me piden
bien claro la definicion de derivada que aparece en el encabezado.
Otra vez desde ya muchas gracias y espero me ayuden a resolverlo.
Chao.





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Hola, Juan por la via que me propones y que ya Alejandra me habia
propuesto, yo ya lo habia resuelto, el problema en cuestion es que
en el ejercicio numero 1 dice
1-Utilice f'(x)=lim [f(x+h)-f(x)]/h para encontrar la derivada de
                 h->0
  cada una de las funciones
  Entonces plantean una serie de funciones con incisos desde la a)
hasta la h).
  El ejercicio numero 2 dice
2-Utilice g'(x)=lim [g(t)- g(x)]/(t-x) para encontrar g'(x) en cada
caso            t->x
   a)g(x)=2x^2 que en este caso seria
     lim (2t^2-2x^2)/(t-x)=lim[2(t-x)(x+t)]/(t-x) =lim 2(x+t)=2(2x)=4x
      t->x                 t->x                    t->x
en el inciso se plantea
     f)g(x)=sen[(pi)*x]
este es en el que tengo duda, y como ven en el ejercicio me piden
bien claro la definicion de derivada que aparece en el encabezado.
Otra vez desde ya muchas gracias y espero me ayuden a resolverlo.
Chao.

: Quería saber si era más infinito elevado a infinito o infinito elevado a cero
Email: pattyclairelaine@...
  Patricia Bauza

Che, igual es lo mismo, ya que derivar tiene una definición única.
Simplemente con tu definición:
lim [f(x)-f(t)] /(x-t), hacé un cambio de variables h = x-t, entonces
x->t

lim [f(x)-f(t)] /(x-t) = lim  [f( h+t ) - f(t)] / h, y creo  que es la
definición que
x->t                       h->0
usarón, cuya demostración está perfecta.
Saludos.

Juan Manuel <juanmanuelchao@...> wrote:

Hola a todos y muchas gracias por la respuesta a alejandra, pero en
el ejercicio que debo resolver me piden que utilice la definicion de
limite que he planteado, o sea
lim [f(x)-f(t)] /(x-t)
x->t
Gracias desde ya.





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Hola a todos y muchas gracias por la respuesta a alejandra, pero en
el ejercicio que debo resolver me piden que utilice la definicion de
limite que he planteado, o sea
  lim [f(x)-f(t)] /(x-t)
  x->t
Gracias desde ya.

Son las aplicaciones de [1,5] en [1,2], o sea 5 monedas a cara o ceca.

Para el caso gral, de aplicaciones de [1,n] en [1,m], propongo que el total es
m^n y lo pruebo por inducción en n:

Si n = 1, de [1,1] en [1,m] hay m, lo cual es trivial.

Propongo la hipotesis inductiva en n (HI).

Calculo las aplicaciones de [1,n+1] en [1,m], como hay m^n (HI) aplicaciones de
[1,n] en [1,m], entonces hay m valores posibles para n+1, extendiendo las
aplicaciones de [1,n] en [1,m], y el nro total de aplicaciones será: m*m^n =
m^(n+1), así está demostrado el paso inductivo.

Finalmente, hay m^n = 2^5 = 32 posibilidades.


Ines Maria Marcuzzo <maina_2@...> wrote:Tengo que resolver el siguiente
problema:
Se tira una moneda 5 veces y se necesita saber de cuantas formas diferentes
pueden caer.
¿Cual sería la fórmula mas adecuada?
Gracias a todos.

>From: matematicas@...
>Reply-To: matematicas@...
>To: matematicas@...
>Subject: [mat] Resumen número 781
>Date: 21 Oct 2004 13:06:33 -0000
>
>
>Hay 1 mensaje en este resumen.
>
>Temas de este resumen:
>
>       1. RE: problema de claculo diferencial
>            De: juan manuel chao <juanmanuelchao@...>
>
>
>________________________________________________________________________
>________________________________________________________________________
>
>  Mensaje: 1
>    Fecha: Thu, 21 Oct 2004 05:03:11 -0300 (ART)
>       De: juan manuel chao <juanmanuelchao@...>
>   Asunto: RE: problema de claculo diferencial
>
>Gracias, Alejandra, pero en el ejercicio me piden utilizar la otra
>definicion, ya yo lo habia hecho por esa via que tu me propones, gracias de
>todas formas una vez mas.
>                                                               Juan Manuel.
>
>María Alejandra Alvarez <maria-alejandra@...> wrote:
>Yo usaría esta definición:
>lim [f(x+h)-f(x)]/h = f'(x)
>h->0
>entonces queda:
>
>lim [sen[Pi*(x+h)]-sen(Pi*x)]/h = lim [sen(Pi*x+Pi*h)-sen(Pi*x)]/h =
>h->0
>lim [sen(Pi*x)cos(Pi*h)+cos(Pi*x)sen(Pi*h)-sen(Pi*x)]/h =
>h->0
>lim [sen(Pi*x)cos(Pi*h)-sen(Pi*x)]/h + lim [cos(Pi*x)sen(Pi*h)]/h=
>h->0
>lim [sen(Pi*x)(cos(Pi*h)-1)]/h + lim Pi*[cos(Pi*x)sen(Pi*h)]/(Pi*h)=
>h->0
>lim [sen(Pi*x)(cos(Pi*h)-1)(cos(Pi*h)+1)]/(h*(cos(Pi*h)+1) + Pi*cos(Pi*x)=
>h->0
>lim [sen(Pi*x)(cos^2(Pi*h)-1)]/(h*(cos(Pi*h)+1) + Pi*cos(Pi*x)=
>h->0
>lim [sen(Pi*x)(-sen^2(Pi*h))]/(h*(cos(Pi*h)+1) + Pi*cos(Pi*x)=
>h->0
>0 + Pi*cos(Pi*x)= Pi*cos(Pi*x)
>
>Si bien, se que es algo engorroso...espero que te haya servido, cualquier
>cosa pregunta.
>Saludos.
>
>ALE
>
>
>
>-----Mensaje original-----
>De: Juan Manuel [mailto:juanmanuelchao@...]
>Enviado el: Domingo, 17 de Octubre de 2004 12:28 p.m.
>Para: matematicas@...
>Asunto: [mat] problema de claculo diferencial
>
>
>
>
>Hola a todos y muchas gracias por leer el mensaje.
>El problema es arrivar a:
>si f(x)=sen(Pi·x) ent llegar a f'(x)=Pi·cos(Pi·x) utilizando la
>definicion de derivada de f(x)
>       Lim      f(t)-f(x)
>                _________  =f `(x)
>       t-->x       t-x
>
>
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Hola Alberto
gracias por lo de licenciada, todavía me falta la tesis.
En cuanto a donde iniciarte...yo lo que hago es leer lo que caiga en mis
manos, mucho en internet, sobre números primos y congruencias.
Una buena página con bastante información es
http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page
Tiene sus versiones en español también.
Otro elemento fundamental para resolver este tipo de problemas...practicar,
con problemas del tipo de la olimpiada matemática.
Cuando a alguien le gusta esto, puede llegar a convertirse en un hobby que
te toma varias horas al día...
Un abrazo y estoy a tu disposición en lo que pueda.

ALE

-----Mensaje original-----
De: Flia Zozaya [mailto:fliazozaya@...]
Enviado el: Sábado, 06 de Noviembre de 2004 08:50 p.m.
Para: matematicas@...
Asunto: [mat] AGRADECIMIENTO



ESTIMADA LICENCIADA MARÍA ALEJANDRA ALVAREZ:
VI LAS SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS SOBRE TEORÍA DE NUMEROS.QUE TE PLANTEO
GABRIELA BORGO Y ME ENSEÑARON MUCHO TE LO AGRADEZCO Y ME GUSTARÍA QUE ME
ORIENTES DONDE PUEDO INICIARME SOBRE TEORÍA ELEMENTAL DE Nº.
          MUCHAS GRACIAS.
                                            ALBERTO ZOZAYA

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ESTIMADA LICENCIADA MARÍA ALEJANDRA ALVAREZ:
VI LAS SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS SOBRE TEORÍA DE NUMEROS.QUE TE PLANTEO
GABRIELA BORGO Y ME ENSEÑARON MUCHO TE LO AGRADEZCO Y ME GUSTARÍA QUE ME
ORIENTES DONDE PUEDO INICIARME SOBRE TEORÍA ELEMENTAL DE Nº.
          MUCHAS GRACIAS.
                                            ALBERTO ZOZAYA

[Las partes que no eran texto en este mensaje fueron eliminadas]

Si tengo que discutir un sistema de ecuaciones lineales empleando el metodo de
Gauss, por ejemplo en funcion de dos parametros, y el sistema tiene 4 filas y 3
columnas, donde es conveniente hacer ceros en la matriz de coeficientes? Muchas
gracias.
  chao21@...
  Pablo García Chao

Uh, recién me doy cuenta de un error que tuve
9999^9999=1^1666*3^3(7)=6(7)
Mis disculpas.
El resto es 6.
Saludos.

ALE

-----Mensaje original-----
De: María Alejandra Alvarez [mailto:maria-alejandra@...]
Enviado el: Viernes, 05 de Noviembre de 2004 04:32 p.m.
Para: matematicas@...
Asunto: RE: [mat] Problemas de enteros



Ahora te mando la solución del 2.
Partamos de que 9999=3(7) o sea, 9999 es congruente con 3 módulo 7, o lo que
es lo mismo, el resto de dividir por 7 a 9999, es 3.
Entonces: 9999^2=9=2(7), => elevando al cubo, 9999^6=8=1(7)o sea, que el
resto de dividir por 7 a 9999^6 es 1
entonces teniendo en cuenta que 9999^9999=9999^(6*1666+3)=(9999^6)^1666 *
9999^3
podemos decir que 9999^9999=1^1666*3^3(7)=4(7)
Por lo tanto el resto de la división por 7 de 9999^9999 es 4.
Saludos.

ALE

-----Mensaje original-----
De: gabiborgo@... [mailto:gabiborgo@...]
Enviado el: Jueves, 04 de Noviembre de 2004 05:45 p.m.
Para: matematicas@...
Asunto: [mat] Problemas de enteros




  1- ¿De cuantas formas puede descomponerse 834 como suma de dos numeros
pares positivos, uno multiplo de 15 y otro multiplo de 21?

,2- Hallar el resto de la division por 7 de 9999 elevado a la 9999 potencia
Necesito saber como se resuelven, es para la evaluacion de un curso que
estoy haciendo y no tengo idea como se hace.
Muchas gracias por su ayuda

Email: gabiborgo@...
  Gabriela Borgo





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Ahora te mando la solución del 2.
Partamos de que 9999=3(7) o sea, 9999 es congruente con 3 módulo 7, o lo que
es lo mismo, el resto de dividir por 7 a 9999, es 3.
Entonces: 9999^2=9=2(7), => elevando al cubo, 9999^6=8=1(7)o sea, que el
resto de dividir por 7 a 9999^6 es 1
entonces teniendo en cuenta que 9999^9999=9999^(6*1666+3)=(9999^6)^1666 *
9999^3
podemos decir que 9999^9999=1^1666*3^3(7)=4(7)
Por lo tanto el resto de la división por 7 de 9999^9999 es 4.
Saludos.

ALE

-----Mensaje original-----
De: gabiborgo@... [mailto:gabiborgo@...]
Enviado el: Jueves, 04 de Noviembre de 2004 05:45 p.m.
Para: matematicas@...
Asunto: [mat] Problemas de enteros




  1- ¿De cuantas formas puede descomponerse 834 como suma de dos numeros
pares positivos, uno multiplo de 15 y otro multiplo de 21?

,2- Hallar el resto de la division por 7 de 9999 elevado a la 9999 potencia
Necesito saber como se resuelven, es para la evaluacion de un curso que
estoy haciendo y no tengo idea como se hace.
Muchas gracias por su ayuda

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En principio te mando la solución del 1, después pienso el otro.

Sean a=15m y b=21n los números pares que deben cumplir 834=a+b
o sea, 834=15m+21n=3(5m+7n)
y entonces 278=5m+7n
como a y b deben ser pares entonces m y n deben ser pares
por lo que (278-7n)/5=m debe ser par,
pero 278-7n solo será múltiplo de 5 si termina en 0 o 5,
para que termine en 5 debería ser que 7n termina en 3 y esto es imposible
porque n es par
para que termine en 0 debe ocurrir que 7n termine en 8 y esto se da si n
termina en 4
Analicemos los números terminados en 4
n=4 => m=50
n=14 => m=36
n=24 => m=22
n=34 => m=8
Entonces tu solución es:
a=750, b=84
a=540, b=294
a=330, b=504
a=120, b=714
O sea, hay 4 formas.
Saludos.

ALE



-----Mensaje original-----
De: gabiborgo@... [mailto:gabiborgo@...]
Enviado el: Jueves, 04 de Noviembre de 2004 05:45 p.m.
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  1- ¿De cuantas formas puede descomponerse 834 como suma de dos numeros
pares positivos, uno multiplo de 15 y otro multiplo de 21?

,2- Hallar el resto de la division por 7 de 9999 elevado a la 9999 potencia
Necesito saber como se resuelven, es para la evaluacion de un curso que
estoy haciendo y no tengo idea como se hace.
Muchas gracias por su ayuda

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Hace tiempo cayó en mis manos un libro en el que se explicaban las
demostraciones de que todo número natural se podía expresar como la suma de un
máximo de 4 cuadrados, 9 cubos y 19 potencias cuartas, respectivamente. He
tratado de encontrarlo y me ha resultado imposible, ya que no recuerdo ni título
ni autor, y mis búsquedas en la red también han sido infructuosas.
Si alguien pudiera facilitarme datos para poder encontrar lo que busco, ya sea
en papel impreso o a través de Internet, le estaría muy agradecido.
Gracias por anticipado.
  yngwie65@...
  Juan Ramon Garralda Goñi

1- ¿De cuantas formas puede descomponerse 834 como suma de dos numeros pares
positivos, uno multiplo de 15 y otro multiplo de 21?

,2- Hallar el resto de la division por 7 de 9999 elevado a la 9999 potencia
Necesito saber como se resuelven, es para la evaluacion de un curso que estoy
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